育児休業中なのに給料が振り込まれていた問題について

1.に関しては税理士の範疇外になりますので、社会保険労務士か関連機関にお問い合わせください。
2.に関しては支給元である会社との相談になると思われます。
3.返金することになれば所得税や住民税の課税対象外になりますので、相談者様に問題が生じることはありません。
4.につきましてもミスを犯した会社との協議になると考えます。

①申請期限を過ぎてしまった育児休業給付金は支給してもらえるのか？
税法の問題ではございませんので、申請先にご確認ください。

②間違えて支払われている給与は返金することになると思うが、使ってしまっていて、一度に全額の返金ができない場合は分割で返金が出来るのか？
税務上の問題はございません。
会社の意思次第です。会社にお問い合わせください。

③給与明細には所得税や住民税等の支払いもされているが、税金関連で問題になることはあるか？

税務上の問題はありません。
ご相談者様は、入金された金額を返金するだけで、
あとは、会社の経理が処理することです。

④今回の件で、多少なりとも迷惑料等の請求は可能か？

ご相談者様のお考え次第です。
請求されても、税務上の問題はございません。