開業届を提出について

誰かの専従者で働いているとのことでしょうか。

でしたら、開業して事業を営むとなりますと、その人の専従者でなくなるかとおもわれ、となりますとその人の税負担が増えることとなります。

この点はお話し合いを、されてはいかがでしょうか。

誰かの専従者としての仕事に支障がない程度であれば、可能と思います。
例えば、専従者が休みの時にやる、勤務時間外にやるなど。

申し訳ございません。補足いたします。

所得税法施行令165条では「他に職業を有する者」は専従者にはなれないとあります。ただし、「その職業に従事する時間が短い者その他当該事業に専ら従事することが妨げられないと認められる者を除く。」とありますので、短時間であるならば従事者でいられます。
ただ、何時間働くと認められるという基準はありませんので、その辺り、どれだけWeb運営で働くのかを納得させていただければと思います。

説明不足で申し訳ございませんでした。

回答ありがとうございます。
専従者は青色申告でやっているようですが、短時間の掛け持ちでweb運営をやるとなると白色申告をしようと思っています。
1人で２つの申告をするということはできますか？

誰かの青色申告と自分の白色申告を、あなたがやるという意味ですか。
両方の本業に専念するためには、記帳代行と申告書作成を税理士に依頼することもありと思います。

青色申告は専従者として働いている自営業のほうで申請してもらっています。が、今後開業するとなると、web運営の方は白色申告と別々にできますか？

青色申告と白色申告を別々にできます。