仕訳の税区分について

借方は消耗品費として、税区分は課税仕入10％で登録し、

→消耗品が軽減税率対象品でなければ課税仕入10％ですが、消耗品は課税売上とその他の売上に共通して要する課税仕入になるのが一般的ですから、共通課税仕入10％となります。

貸方は事業主借として、税区分は対象外とするので正しいでしょうか？

→プライベート用のクレジットカードのようですから、事業主借で税区分は対象外です。

税務分は、借方、貸方ともに同じ内容で設定するのが正しいでしょうか？

→以下に記載する通りですので同じではありません。

借方、貸方両方に税区分の設定がありそれぞれバラバラに設定できるようになっており、
仕組みを理解できておりませんでした。

→消費税区分は勘定科目によって、また同じ勘定科目でも取引内容で個別に判断を要するものですから、正直なところ消費税の基本的なことを理解していないと正確な税区分は難しいと思います。

なお、ご質問者様が消費税の課税事業者でなければ会計ソフトの税区分は気にされる必要はありません。（将来、課税事業者になったときのためには無駄なことではありませんが）