パート勤務時間を増やす

何が損かは考え方次第です。

1日4時間、時給960円、月20日勤務ですと
4×960×20＝76,800
この金額および時間だと雇用保険は引かれる可能性はありますが、社保は引かれませんから、同額が手取りとなるでしょう。

2時間増やすと6時間になり、社保に加入することになります。
組合や県によって保険料率が異なりますが、大体合わせて15％程度です。
6×960×20＝115,200
115,200×（1-0.15）＝97,920
若干の所得税及び住民税がかかる金額ですが、76,800円は確実に上回ります。

ところで、比較対象に1日5時間を検討します。

5×960×20＝96,000
社保の加入は不要なので、6時間の場合とほとんど変わりません。

短期的に考えれば5時間でも6時間でも、ほとんど手取りは変わりません。
ただし、6時間の場合は、厚生年金に加入することになるため、年金をもらうときに報酬比例部分がもらえます。また、業務外で病気や怪我で働けないとき、傷病手当金の保障があります。
通勤や業務で病気や怪我をした場合は労災ですが、1日当たりの金額が違うため、6時間の場合の方が保障される金額が多いです。

4、5、6時間を検討しましたが、手取りが一番少ないのが4時間です。
5、6時間は手取りこそ同じ水準ですが、6時間は年金が多くなる、病気や怪我の保障は6時間の方が多いなど単純に比較はできません。
手取りだけで考えるのか、年金や保障を含めて考えるのかで結論が変わってしまうと思います。
どれが損だとはいえません。

とてもわかりやすい説明で理解できました。こちらを参考にして、家族とよく相談して決めたいと思います。本当にありがとうございました。