担当が不安です…年末調整、確定申告について

育休手当（育児休業給付金）は、非課税所得です。
今年の奥さんの給与収入が103万円以下であれば、配偶者控除の適用はあります。
又、103万円を超えても、配偶者特別控除の適用があります。

児童手当は課税対象外の収入になりますので、扶養親族の判定には含まれません。
年末調整に関する書類に関しては、「扶養控除等申告書」の「源泉控除対象配偶者」の欄や、「配偶者特別控除等申告書」の「配偶者」の欄に、奥様に関する個人情報と所得金額（給与の場合には給与収入金額から次の給与所得控除額を差し引いた金額）を記入して、ご主人の会社に提出してください。
≪給与所得控除額≫
https://www.nta.go.jp/m/taxanswer/1410.htm

御主人の今年の年収が1220万円以下の場合、奥様の今年の年収が103万円以下であれば配偶者控除が、103万円を超えても201.6万円未満であれば配偶者特別控除が受けられます。

管理ずさんな場合どうでしょうか？
還付金や書類は取り戻せるのでしょうか？

年末調整や確定申告は書類が整っていて初めて正しい計算が出来ます。
必要な書類を適正に提出して頂ければ還付金は受け取れるはずです。

うっかり提出先で紛失した場合はどうですか？

それは提出先の責任になりますね。
万一、それで税金が増加することになれば、増加分に関しては提出先に負担して貰うのが一般的かと思います。