学生アルバイトで収入103万を超えた時の次の年での被扶養者申請書の提出について

はい、給与収入が103万円を超えると所得が38万円（103-65）を超えたことになりますので、親は扶養控除を受けられなくなり増税となります。
（親が給与所得者であれば）昨年の親の年末調整までに親に知らせ、扶養控除をしないこととしなければなりませんでした。
また、今年の収入が103万円を超えるのであれば、親があなたの扶養控除を受けない扶養控除申告書を勤務先に提出しなければなりません。
あなたの昨年の税額については、あなたのアルバイト先で年末調整されていれば問題はありません。
なお、130万円を超えると社会保険上の扶養からも外れます。

所得が給与収入だけの場合には、年収103万円を超える場合には、税金の扶養から外れます。
しかし、年収が130万円未満の場合には、社会保険の扶養になります。
特別な手続きは、特に必要はありません。