①勤労学生の社会保険加入②親が無職の場合扶養を外れるとどうなるのか

回答します。
社会保険の件ですが、「130万円の壁」という話があります。ネットで詳しく掲載されていますので、確認してみてください。
学生には当てはまらないはずです。
そして、あなた様が130万円以上の収入を得ますと、あなた様に税金がかかる可能性があります。
給与収入から給与所得控除55万円を差し引きます。その金額が75万円までなら勤労学生控除27万円が受けられます。
このため勤労学生控除27万円と基礎控除48万円を合わせた75万円までなら、所得税はかかりませんが、あなた様の所得が75万円を超えると、勤労学生控除もなくなりますので、税金がかかる可能性は高くなります。
そして、住民税の所得割、国民健康保険の所得割も発生します。
特に国民健康保険は世帯課税なので、お母さんと同一世帯なら、あなた様の所得が世帯の所得として反映されます。

その場合、お母さんと世帯分離する、すなわち同一住所に世帯主が二人いるという選択肢もあるのではと思います。
この点は税理士の範疇ではないので、答えて良いか迷いますが、親子間の世帯分離は可能です。
世帯分離することで、あなた様の所得はお母さんに影響は及ぼさないはずです。
しかし、お母さんをあなた様の扶養に入れたら、お母さんは非課税世帯のままでいられるかどうかまでは、私には分かりません。
これは確認していただきたいと思います。
このような選択肢も考えられることを知っておいてください。

ご回答ありがとうございます。

すみません。言い忘れていたのですが、勤労学生になると同時に一人暮らしを始めます。その会社には卒業後就職予定です。そのような場合は一人暮らし開始と同時に自然に世帯分離をして、親の負担はなくなるということになるのでしょうか。

世帯分離すれば、あなたの所得はお母様に影響は及ぼさないはずです。
但し、あなたの扶養に入れたら、お母さんが非課税世帯のままでいられるかどうかは、確認してみてください。

理解が乏しくて申し訳ありませんでした。
丁寧で分かり易いご回答ありがとうございます。