非課税世帯の一人親のフリーターの収入につきまして。

回答します。
親御さんの収入なら扶養から抜けても税金はかかりません。世帯全体の問題としてあなたの収入が加味されると、非課税世帯から外れる可能性がありますので、あなたと親御さんは世帯分離した方が良いと考えます。
親子間なら世帯分離は問題なくできます。

お忙しい中、ご回答ありがとうございます。
色々と調べていましたら、ご返信が遅くなり申し訳ございません。
先は世帯分離の申請からでしょうか。世帯分離をすると国民健康保険料を毎月支払うことになりまして、

稼ぐ金額は106万以内におさめておいた方がよろしいですか？色々とパターンがあるので難しいですね

考えることは、親御さんを非課税世帯のままにするかどうかだと思います。あなたは働けるので稼いだ方が保険料を払っても残りが多ければ、それが良いのではと思います。

親を非課税世帯ではなくなるとどのようになるのでしょうか？このまま扶養されている状態だと非課税世帯ではなくなってしまうので、世帯分離をしたほうがよろしいのでしょうか？

非課税世帯は国保などの面で便宜を図ってくれます。
あなたの収入が増えそうなら、外した方が国保負担などこれまで通りだと思います。