医療費控除の申告する時期

医療費控除は期限後の申告でも大丈夫です。
3月末に医療費控除の申告をしても問題はありません。

医療費控除は所得税の還付を受けても、余った控除額は6月から収める住民税の減額にしてもらえますか？

医療費控除は住民税の計算上も所得控除になりますので、所得税の確定申告（期限後申告含む）をすることで住民税の計算にも反映さることになります。

医療費控除を申告するのに、去年度、父親が入院をして医療費が10万円を超えました。ほとんど母親が入院費を払って居ましたが、母親はあまり収入が少なく税金もそれほど収めていません。なので一緒に暮らしいる長男の収入で医療費控除を申告したいのですが、実際に入院費を払ったのは母親ですが、医療費控除を申告して問題はありますか

確かに条文の上では「・・自己又は自己と生計を一にする配偶者その他の親族に係る医療費を支払った場合において・・」となっておりますが、実際に現金がどこから出たのかは分かりませんし、税務署でもそこまでの調査は通常はしていません。
だから自由に考えて良いという訳ではありませんが、実務的にはご長男の医療費控除で申告して差し支えないと考えます。