ダブルワークについて

文面から分かる範囲内でお答えいたします。

まず、バイト先からも給料が支払われるという前提でお答えいたします。

確定申告は、した方がいいですか？

2箇所から給料が支払われている場合、確定申告は必須となります。

税金の納めかたはどうなのか？納めた方がいいのか？

所得税は別途納めるか、還付となります。
地方税は、原則給料から天引きの形でバイト先の分も含めて支払います。

住民税で、現在の会社にバレてしまうのか？バレない様にする方法があるのかが知りたいです。

この場合、可能性はあります。バレないようにするには全額、普通徴収と言って自分で納める方法がありますが、ハードルが相当高いです。

一方、バイト先から給料ではなく外注費の形で支払われるのであれば、
申告が必要になる可能性は高いのですが、
バイトの分の地方税のみ自分で支払うことができます。
この場合、地方税の天引き額で元の職場に不審がられる事はありません。

ご参考になれば幸いです。

正社員の給与以外のバイトの給与の金額が20万円以外であれば、所得税の確定申告は省略することができます。
https://www.nta.go.jp/taxes/shiraberu/taxanswer/shotoku/1900.htm
しかし、住民税の申告は必要になりますのでご留意ください。

住民税の申告を行いますと、お住まいの市町村から相談者様の住民税の納税通知書が正社員の勤務先に送付されます。そして、毎月の給与から住民税分が分割で控除されて、勤務先から市町村に納付されます。この納付方法を「特別徴収」と言います。

市町村からの住民税の納税通知書の明細(金額)を注意深く見ますと、バイトの収入があることに気が付く可能性があります。
正社員の勤務先に気付かれないためには、勤務先に送られる住民税の納税通知書にバイトの金額が記載されないようにすることが必要になります。
そのためには、住民税の申告の際に、正社員の給与は「特別徴収」で、バイトの給与は「普通徴収」(自分で納付する方法)で納める方法をとる必要があります。この手続きは市町村の担当部署に直接相談して頂くことが必要です。そのような対応をしてくれるのかも含めて、お住まいの市町村の住民税担当部署にご相談ください。

国税庁のホームページの引用で、2か所以上から給与の支払を受けている人で、主たる給与以外の給与の収入金額と給与所得及び退職所得以外の所得の金額の合計額が20万円を超える人は、確定申告が必要ですが、バイトの給与収入が20万円以下の場合は申告不要です。
住民税の申告で、普通徴収の選択をしてください。

どちらの方も所得税の源泉徴収をされることになりますが、徴収される金額が多くなる
ことが想定されますので確定申告をされた方が有利だと思われます。

確定申告で計算して払い過ぎの場合は還付されますし、不足の場合は確定申告時に納付と
なります。

両方給与所得の場合は、制度上住民税を分ける手立てがありません。自治体によっては
分けることができるところもあると聞いたことがありますが、制度的にはありません。

どうぞよろしくお願い致します。

ご返答ありがとうございました、とても参考にぬりました。
追加質問なんですが、住民税の申告を行うと、住まいの市町村から住民税の納税通知書が正社員の勤務先に送付されますということですが、納税通知書には、バイト先と正社員で働いてるとこの２つが合わさった、住民税の通知書が届くのでしょうか？
それとも、別々に記載されているのでしょうか？

２つの収入が共に給与であれば、給与所得として合計した金額が記載されます。別々に記載される訳ではありません。