一人親方

回答します。
立替金として処理するのは、あなたが実費負担した費用を、あなたの親会社が負担する場合です。
つまり、あなたが支払った経費をそのまま支払ってもらえる場合で、
立替金/現金　あなたが費用を現金で支払った
普通預金/立替金　あなたが立て替えた費用を支払ってもらった
以上のような取引になります。

親会社に請求書が、行っている場合は、立替金となり、こちらに請求書が来ている場合は、経費となるという、事なのでしょうか。

そのとおりです。こちらが負担した費用を支払ってくれる話なら、立替金処理して請求すれば問題ありません。

よく分かりました。そのように処理しようと思います。