生前贈与、名義預金の判別について

親御様が管理しているお子様名義の預金口座に親御様の金銭を入金する行為は贈与ではありませんから、贈与税は課税されないと考えます。
贈与はあげる側ともらう側で「あげます」「もらいます」の双方の意思があって成立しますが、管理がお子様に移っていない以上、贈与が履行されているとは考えられません。

4年程前に親が管理している子供用の名義の口座に

→4年前のことに対応が必要な新たな何かが発生したのですか。

300万程お金を振り込んで

→誰がどのように調達した300万円かによって判断が分かれます。

銀行で税金がかかることと

→行員さんの判断理由は何でしょうか。対象は贈与税でしょうか。

税務署に申告が行くことを言われた

→取引履歴が税務署に情報提供されるということでしょうか

生前贈与とみなされて納税しないといけないのかそれともこの口座は名義預金とみなされて贈与にならないのか？

→個々の資金移動がある度、税務署が贈与か否かを判断することはありません。松井税理士の記述にもありますように双方の意思確認が必要です。

ご質問内容を拝見する限りでは贈与税の申告は必要なしと考えますが、行員の方からお話があった背景には何かその行員の方が注意喚起する事柄があったのでしょうか。

以上、参考にしていただければと思います。

早速、回答頂きありがとうございます。
とても詳しく説明頂きありがとうございます。
もう一つ、質問させてください。
この子供名義の預金口座を子供本人に税金がかからないように移したり渡したりするにはどういう方法が1番良いでしょうか？
素人の考えだと毎年、110万以下にして贈与する方法しか思いつきません。
何かいい方法があればよろしくお願いします。

この子供名義の預金口座を子供本人に税金がかからないように移したり渡したりするにはどういう方法が1番良いでしょうか？
素人の考えだと毎年、110万以下にして贈与する方法しか思いつきません。
→贈与税の基礎控除枠である歴年110万円を利用し金銭贈与していただくのが、税務手続きも必要なく一番シンプルな方法だと思います。
　もし、親御様の財産について相続税がかからないと推定され、適用要件を満たしているなら、2,500万円まで贈与税が無税となる相続時精算課税制度を利用して贈与をするのもいいと思います。

相続時精算課税制度の要件や内容については、以下URLからご確認ください。

国税庁HP: 相続時精算課税の選択
https://www.nta.go.jp/taxes/shiraberu/taxanswer/sozoku/4103.htm

親切に教えてくださりありがとうございました。