預けたお金、贈与

以上の行ないに問題は有るでしょうか？

あるのではなく、残ると考えます。
竹中は、将来疑義のおこることは、しないと決めています。
どう行動するかのみです。

この場合、投信運用損益は親のものですか？子のものですか？


難しい問題です。
扶養の問題が出れば、親のものといいたくなり。
そうでない場合には、子供のものといいたくなる。
都合が優先します。

子供の銀行口座にお金を預け、この銀行の投信口座（投信の銘柄も親が決めている）で運用するというのが親の指示であり、預金の出し入れも親が自由に行えるのであれば、事実認定の問題となりますが、預金口座は親のものであり、したがって投信運用益も親の物と考えます。
なお、預金口座を子が支配しており、預金口座から子供が自由に引き出せるのであれば、資金を子に贈与したという考えもあり得ます。そのような状態であれば、投信運用は子の意思でなされたものとなりますので、運用益は子のものとなります。

預け金が贈与とみなされる余地が有るとの事ですね。
具体的な御説明ありがとう御座いました。