実家の相続について

母の転居先を探して、売却するか、売却せず母が住み続ける、かのいずれかでしょうか。

実家の固定資産税は、実家を相続した人にその翌年から掛かってきます。相談者様が実家を相続される場合には、その固定資産税は相談者様に掛かってきますが、お母様にその固定資産税を負担してもらっても、税務上は使用貸借として取り扱いますので問題はありません。

なお、売却する場合の税金ですが、相談者様も実家に同居されているのでしょうか？
相談者様が実家に同居されているのであれば相談者様が相続して売却するという方法で問題ありませんが、もし、実家にはお母様しか居住されていない場合には、相談者様が相続して即売却した場合に「居住用財産の3000万円控除」の特例が使えず、通常の税金がかかってきますのでご注意ください。
実家にはお母様しか居住されていない場合にはお母様が相続して、お母様が売却した方が税金的には得になります。

お母様に相続してもらうのが一番ですね。実態にあいますし、相続税負担も無いでしょうし。固定資産税負担も母。母の相続の時に相続すれば良いでしょうから。