被相続人の10年前の申告所得税と延滞税を払わないといけませんか。

滞納している税金は、最後に督促状を受け取ってから５年を経過すると消滅時効にかかります。納期限から５年ではありません。

税務署も時効完成まで指をくわえて待っているわけではないので、少なくとも、３年前の相続開始時に税務署から何らかの通知がなされたのではないでしょうか。今回の通知の内容をよく確認してみてください。

早速のご回答ありがとうございました。そうすると、5年経つ前に、新たに、督促状を送れば、時効は完成しないという事でしょうか。

督促状を送付することによって時効が中断し、その時点から新しい時効がカウントされます。
しかし、５年ぎりぎりまで何にもしないことはまずありません。時間がかかると税務署が判断したら、財産の差し押さえなどの強制執行手続きを行使するはずです。
そうならないうちに、税務署とちゃんと話し合ってみることが大切です。

ご回答ありがとうございました。督促状送れば時効中断するのですね。普通の借金の催告状とは違って、6か月以内に裁判を起こすことは不要なのですね。知りませんでした。ありがとうございました。