消費税還付での税務調査

ご質問ありがとうございます。

論点を整理させていただきますと、次の３点になると思います。
①、③についてはほとんど議論の余地はなく、今後の交渉で主張すべきは②の論点となります。
質問者様の主張が絶対に通るとは言えない状況ですが、勝ち目も十分にあると思われます。
ただし、こちらが黙っていればまず間違いなく消費税の還付は受けられないでしょう。

①駐車場収入は消費税の対象か？
　更地をそのまま駐車場として貸している場合は消費税は非課税です。
　一方、駐車している車両の管理を行っている場合や、駐車場としての地面の整備又はフェンス、区画、建物の設置などをして駐車場として利用させる場合には、消費税の課税の対象となります

②兄名義で経営している駐車場なのに、質問者様が事業者？
　基本的には調査官の指摘どおり、土地の持分割合に応じて１/２は質問者様の事業とみなされることが多いと思います。
　ただし、上記①で言うところの、車両の管理や設備の負担をお兄様だけが行っているのであれば、お兄様100%の事業と主張する余地はあると思います。
　これは、住宅の貸付などではよくある状態でして、敷地の保有者が複数いたとしても建物がＡ氏の100%保有であれば、賃料収入は100%Ａ氏のものになります。
　この理屈を適用する余地はあると思います。

③課税事業者選択届出書の提出のタイミング？
　この点は完全に②の結論に依存します。
　②で質問者様が以前から駐車場経営をしていたという整理になれば残念ながら消費税の還付はできません。

ご参考にしていただければ幸いです。