会計の開始日について、また開始日前に購入したレターパック使用はについても教えてください。

1.2019年の所得(収入金額-経費)がなければ、帳簿の記帳は必要ないと思います。
2.1月に入金されたものは、2019/12月の売上ですので記帳は必要ないと思います。
3.2019年に購入された材料は、期首に棚卸をして在庫として以下の様に計上することになります。
(材料)xxxx (元入金)xxxx
4.2019年に購入されたレターパックライトは、期首に棚卸をして以下の様に貯蔵品として計上することになります。
(貯蔵品)xxxx (元入金)xxxx

仮に2019年の損益について適正な会計処理を行ったとしても所得は20万円も出ないという前提（申告不要という前提）で回答します。

①2019年中の利益は経費を差し引けばほとんど無くあったとしても数千円かほとんどありません。
これは2020年の会計に反映させるべきですか？そうなれば2019年の会計も必要になるのでしょうか？
⇒2019年は既に終了済ですので反映させる必要はありません。

②売上金の入金は翌月末になります。2019年12月分の売り上げが2020年1月末に入金されているのですが、計上するのでしょうか？

⇒入金が翌月になっているだけなので、正しくは2019年12月に
未収入金××　売上××と処理しますので、2019年の損益に反映してください
2020年の入金時には仕訳は不要です。

③2019年中に購入した材料(仕入)を使用していますが、棚卸しなどを行っていません。
2019年中に購入した材料については何もせず、2020年中に購入する材料について計上及び年末に棚卸などを行っていったので大丈夫でしょうか？

⇒2019年の在庫がわからないという前提ですので2019年の経理ではすべての仕入れについて材料仕入××　預金××　と仕訳をされていると推測されます。そのうち使用されていないいくらかの在庫はあるかと思います。適正な会計とは言えませんが、期首に残っている在庫がわからない以上、2020年から仕入されたものから金額を記帳し、12月末の在庫を把握されてはいかがでしょうか。

④2019年中に購入したレターパックライトの在庫がありましたので、2020年中に使用しました。棚卸しをしていないので貯蔵品として扱えません。どのように計上したらいいでしょうか？

⇒2019年に全額、経費にされておられると推測されます。適正な会計とはいえませんが、期首の貯蔵品額がわからないのであれば、2020年から購入されたものから記帳されてはいかがでしょうか。同様に12月末に残っている分を把握して貯蔵品××　通信費××と在庫管理してください。