住民税の申告について

原則として、修正申告の場合は延滞税がかかると思いますが、申告期限から1年経過してから修正申告又は更正があった場合には延滞税の軽減があると思われます。

今回の申告漏れについて、脱税等の罪に問われることはあるでしょうか。
また、身分が公務員等の場合は処分を受けることはあるでしょうか。

自主的な修正申告であれば、脱税等の罪に問われることはないです。公務員の場合でも処分を受けることはないです。

今回の修正申告については、20万円以下なので税務署への修正申告は不要で、市町村のみへの修正申告でよろしいでしょうか。

ご理解の通り、市区町村のみへの申告になります。

自主的な申告であれば大丈夫とのことですが、雑所得の内容が貸株の場合でも同様でしょうか。
例えば、制度を知っていたのに申告していなかったなど意図的と疑われることはないでしょうか。
また、修正申告の際に雑所得の内容等を申告する必要はあるでしょうか。

貸株の場合も同様になります。意図的と疑われることはないと思います。修正申告の際は雑所得の内容を記載することになります。

追加の質問失礼します。
給与に関しては職場で年末調整、住民税の申告（雑所得）に関しては今回の申告が初めてとなりますが、修正申告の扱いになるでしょうか。

初めての申告であれば、期限後申告になります。