シンガポールにDPビザで滞在、里帰出産で一時帰国、住民票を都内23区に戻した場合の住民税支払い

税金が課税されるかどうかは「居住者」であるか「非居住者」であるかで決まるのであって、住民票の有無は課税判定の理由にはなりません。
そもそも「住民登録（住民票）」とは日本国内に居住している場合に行わなければならない手続であって、一時帰国の場合、住民登録しなおす必要（理由）はありません。
したがって、非居住者のままであれば、住民税は課税されません。

ところで、国民健康保険の場合はどうかというと、
「非居住者」は海外転出届を提出しており住民票から脱退している状態なので、基本的には「健康保険料・住民税・年金」の支払いはしなくても良い状態です。つまり、国民健康保険に加入していない状態なので日本に一時帰国しても保険が使えません。
しかし、一時帰国の際に入国日から14日以内に転入届（住民登録）を提出し、手続きをすることで国民健康保険に加入することができ、日本の医療機関での医療費負担をと抑えることができます。

住民登録されることで「非居住者」から「居住者」扱いとなるため、住民税・所得税などを支払う義務が生じます。なお、海外に住んでいる「非居住者」である場合、日本で不動産収入などを得ていない限り、住民税が課税される前年の収入（国内に限る）はない、又はその年の1月1日現在で日本国内に住所がない場合が多いと思われますので、その場合は基本的に住民税が発生することはないと思われます。