アパート駐車場の消費税について

(減額後) 3000円(消費税無し)

→違います。3,000円（うち消費税272円・・3,000円×10/110）です。消費税無しではなく消費税分を税込で値下げするだけのことです。

という方法で、駐車場賃料を非課税に設定することは税務上問題無いのでしょうか？

→消費税は資産の譲渡や役務の提供といった課税取引について課されるもの（消費税法4条）と規定されており、事業者が恣意的に生じたり生じさせなかったりできるものではありませんので、上記の通り消費税なしにはなりません。

また、今後新規の(駐車場)契約を締結する場合、非課税で賃料設定しても良いのでしょうか？

→上記の通り、非課税ではありません。消費税の非課税取引は消費税法別表第二に限定列挙されている取引だけです。

駐車場賃料は原則課税対象で消費税を取らなくても、下記のように課税取引になるという記事もあり判断が付きません。
(例 3000円で貸している場合には、消費税記載が無くても自動的に3000円（税込）になる等)

→その通りです。

ちなみに駐車場は建物敷地内にあり一戸あたり1台分以上のスペースを確保しています。また、賃料・駐車場賃料は区別し合計額を毎月受領している状態です。

→住居と別に賃料を取っていれば消費税課税取引です。

前田先生、ご回答ありがとうございます。
以前、当方の顧問税理士にも相談したところ、「今後は免税事業者が消費税取ると、クレーム入れる企業もあるため、消費税表記せず非課税にした方が良い」と言われたのですが、不安だったので改めて回答頂き助かりました。参考にさせて頂きます。