１３０万の扶養内パート

社会保険については会社が資格喪失の手続をしますので、相談者様の方での手続は特にないと思います。給料からは、正社員の時と同じように所得税と住民税が引かれます。

所得税や住民税は正社員と同じように月々引かれますか？
どのくらいの額引かれるのか知りたいのですが計算方法などありますか？
また、正社員からパートに変更した際に一気に支払わなければならないようなことはないでしょうか？

所得税、住民税(特別徴収継続であれば)は、正社員の同じように毎月引かれます。まとめて引かれることはないです。
計算については、以下の様になります。
1.所得税
毎月の給料について、税額表に基づいて所得税の額が決まります。
2.住民税
今年の年収が確定すれば、その年収に基づいて翌年6月からの住民税額が確定します。