年末調整の住所に関する相談

実際に住んでいる住所（前住所）を記載で間違いでは無いですが、アルバイト先に自治体から連絡が行く可能性があります。
そのためアルバイト先には実際に住んでいる住所（前住所）と住民票のある住所をお伝え（扶養控除等申告書に記載）しておくのが望ましいでしょう。

区は変わりますが、同じ市内での変更でも問い合わせは来るのでしょうか。

住民票の住所とは異なるため、同一の市ではありますが、問い合わせが無いとは言い切れません。
どうしてもアルバイト先へはその内容を言いたくないということであれば、先にご自身で市役所に連絡して、どのような扱いになるか確認されてはどうでしょうか？

市に問い合わせましたら、同じ市内なら履歴を辿れるため問題ないと言われました。税務署の方にも問い合せたところ、市の対応に準ずると言われました。ご回答ありがとうございました。

すいません。もうひとつ質問よろしいでしょうか。
税理士から住所不一致に関する問い合わせは会社の方にするのでしょうか。あくまで見るのは計算等の数字の面だけなのでしょうか。ご回答よろしくお願いします。

税理士が年末調整を行う場合に、住民票と扶養控除等申告書の住所を照らし合わせたり、マイナンバーカードと照らし合わせるのは、入社初年度はあるかもしれませんが、2年目以降はそのような行為はしないことがほとんどです。
これは質問者様の会社が依頼している税理士がどのようなやり方でやるかによるので、ここで申し上げたことはあくまでも憶測に留まることご了承ください。