休眠会社の納税について

固定資産税の支払いがあった場合でも、均等割は免除されるのでしょうか。

→固定資産税の納税をしていても事業活動をしていなければ免除されると思いますが、貴方も書かれている通り免除にするかどうかは自治体の判断です。地方税法上、休眠を事由とした均等割額免除の規定がないためです。
都道府県税事務所と市町村役場にそれぞれご確認ください。

また、休眠中は確定申告の提出は不要でしょうか。

→毎期の決算と法人税及び地方法人税（国税）の確定申告はしなければいけません。法人住民税は均等割が免除されれば提出不要としている自治体が多いので、こちらも直接ご確認ください。