被扶養者が扶養家族を持つことは可能ですか

扶養の条件に該当しなくなった場合や新たに扶養に入れる場合、すみやかに健康保険組合等に連絡して手続きをする必要があります。今回のケースであれば、お母様を旦那様の扶養に入れるため、旦那様の健康保険組合等に連絡を入れて手続きをご確認されるのが良いかと思います。

説明の書き方が悪くすみません。
お聞きしたいのは健康保険ではなく税法上の扶養のことです。
これまで妻が自分の母を扶養家族として税務申告していたが、
妻が夫の扶養家族になった場合、妻の母は確定申告の際に夫婦どちらの扶養とするのが正しいでしょうか。
どちらでも問題ないのでしょうか。よろしくお願いいたします。

税法上の扶養に入れるには、納税者である扶養者（今回であれば旦那様）が会社員などの給与所得者である場合、勤務先に「給与所得者の扶養控除等（異動）申告書」を提出する必要があります。
https://www.nta.go.jp/taxes/tetsuzuki/shinsei/annai/gensen/annai/1648_01.htm

質問はタイトルの通りなのですが、私（妻）が確定申告をする際に、母をこのまま扶養している老親とすることに問題はないですか？

旦那様の配偶者控除に入っている奥様の確定申告の際にお母様を扶養に入れることは可能となります。
ただ扶養家族に入れられる要件が揃っている場合には、奥様の扶養ではなく、旦那様の扶養家族にした方が節税メリットが高いため（所得税が累進課税のため、所得の高い人から控除した方が良い）、実際のケースとしては少なくなります。

わかりました。丁寧にご教授いただきありがとうございました。

ありがとうございます、また何かございましたらお気軽にお問い合わせください。