外注としての収入は雑収入でしょうか？

副業の所得が給与所得以外であれば、申告の時に副業の所得の住民税の納付を自分で納付(普通徴収)を選択できます。そのため副業の情報が会社に漏れません。

回答します。
給与以外の所得が20万円までなので確定申告は不要ですので、住民税の申告になります。
納税方法について、年末調整済みの給与は特別徴収すなわち勤務先の給与から天引きされますが、申告で給与以外の所得にかかる税金を自ら納付する普通徴収を選択できますので、まずはそれを選択してください。

すごく初歩的な質問で申し訳ないのですが、具体的な住民税の申請方法や申請タイミング、申請の際に必要な書類がわかりません。

お住まいの自治体の税務課へ行ってください。申告用紙等の記載、入力は職員が行います。多分、源泉徴収票も不要です。
既に入力されていますので、副業の申告に来たこと、副業の収入、経費の金額を記載したメモで申告書の作成を一緒に行ってください。
そして、最後に副業の分は普通徴収で自ら納付することを伝えてください。

ご丁寧にありがとうございます。参考にさせていただきます。