クレジットカードの家族カードの贈与判定について

なぜそのような面倒なことをするのでしょうか。
たとえば、毎回の引落と同額が同時期に振り込まれていれば説明はできます。
また、そもそも親の生活費のみを子が援助しているのであれば、贈与税はかかりませんが、そのためにはクレジット利用明細の保存が必要です。

お考えのとおり相続時には税務署は相続税とともに贈与税についても確認しますので、疑われるようなことはできるだけ避けたほうが良いのではないですか。

おそらく、親御さまの収入が少ないので家族カードを作成されたのではないでしょうか。
その前提で、親御さまが購入されたものは親御さまが支払い、相談者さまが購入されたものは相談者さまが支払う、と明確に線引きをして、親御さま購入分を返済してもらえば、贈与には当たりません。
相談者さまが心配されるように、証拠は残すべきですので、返済がわかるもの（通帳）とカード使用履歴は保存してください。HPの照会画面は信憑性が薄いのでは、とご心配とのことですが、そんなことはありません。税務署も必要があればカード会社に使用履歴を照会し、突き合わせをします。

ご指摘の通り、親からの申し込みではクレジットカードが作成出来なかった為に、家族カードを発行いたしました。
ありがとうございました。