住宅ローン資金調達に対する贈与税

この状態で義父(妻の父)から600万円の資金援助を受けた場合、贈与税はかかるでしょうか。

→掛かります。
年間110万円を越えなければ良いと聞きましたので、例えば100万円ずつ6年間で受け取れば問題ないかと思いますが、一括または短期間で贈与税なしで受け取る方法はないでしょうか。

→600万円を毎年100万円ずつ受け取るという約束をしていれば定期贈与となり、600万円に対して贈与税が掛かります。
参考）国税庁タックスアンサー
https://www.nta.go.jp/taxes/shiraberu/taxanswer/zoyo/4402_qa.htm

また、妻が連帯債務者となって名義も半分もっているということは、妻もローンの半分を負担しないといけないと思いますが、実際には私の口座からのみ支払っています。これは逆に妻が私の口座へ入金したという証明がなければ、全額を私が支払っていることにはならないのでしょうか。

→連帯債務の場合、持分に応じて返済負担割合を決める必要がありますので、奥様の返済負担分をご質問者様が負担しているのであれば、ご質問者様から奥様に贈与がされたと見做されます。全額をご質問者様が支払っているのであれば既に奥様に贈与していることになると考えられます。

もしその証明が不要なのであれば、義父から私と妻に100万円ずつ現金で援助をしてもらい、妻から私に100万円ずつ現金で渡されれば、600万円は3年で贈与税なしで受け取れると思うのですがいかがでしょうか。

→上記の通りご質問者様が奥様の分も返済を負担しているのであれば既に奥様に贈与をしていることになります。従って、逆に奥様の返済負担分を奥様が負担していることが証明できなければご質問者様から奥様に贈与されたと見做されることになります。
奥様の本来の返済負担分を受け取るのであれば贈与ではありません。
最初の回答の通りご質問者様と奥様がそれぞれ奥様のお父様から定期的に贈与を受ければ定期贈与と見做され、１年間に受け取る金額が基礎控除額110万円以下であっても総額に対して贈与税が課せられます。（最初の回答の国税庁タックスアンサーのリンクご参照）

ありがとうございます。
妻の返済負担分を妻が負担していることの証明、とはどのようなものがあるのでしょうか。手渡しで受け取るたびに領収書を書いておく、などでしょうか。

定期的に振り込む等で通帳に記録しておくのが一番簡単で確実かと思います。

ありがとうございます。
義父からは定期・定額にならないように、時期や金額を変えるようにして、援助してもらおうと思います。それであれば贈与税は心配しなくて良いでしょうか。
ちなみに義父が振込手数料を嫌がるため、援助されるなら現金で受け取ることになると思います。受け取ったら私はすぐ銀行口座に預け入れたいのですが、いきなり100万単位の預け入れがあったら税務署はチェックするものなのでしょうか？上記のようにして贈与税は問題なくなったとしても、変に勘繰られるのも気持ちの良いものではないので…。

定期贈与については当初の回答の通りです。
ご心配であれば、都度、贈与契約書を作成すればよろしいかと思います。

ありがとうございます。
妻の負担分を妻が夫に渡す額は決まりがあるでしょうか？
夫婦5万ずつの負担で夫の口座から毎月10万返済している場合、妻から夫へは毎月きっちり5万渡さないといけないのか、1年分をまとめて120万ずつでもいいのか、50万・130万など不定期に金額はバラバラでもいいのか、完済後に500万をまとめてでもいいのか、完済後に少しずつでもいいのか？
よろしくお願いいたします。

持分に応じてそれそれが返済額を負担する必要があります。
毎月や3カ月毎など決まりはないと思いますが、少なくとも暦年ベースでは精算すべきと思います。
当初の贈与の質問からどんどん質問が拡大し際限がありませんので、回答は以上とさせていただきます。