贈与税がかかるか

祖父の了承は得ていますが、認知症という診断がある事と、父が代理で行う事が大丈夫なのか不安で相談しました。

これは税理士の答える問題ではないですが・・・お父様は、裁判所に代理人の届出をしているのでしょうか？

この場合は、贈与とみなされますか?

上記が届け出ていれば、おじいさんと相談者様と贈与契約書を締結して、頂くのが正しいです。
110万円の範囲内だと、贈与税はかかりません。
そして贈与税はかかりませんか?

回答します。
贈与税は発生しません。このような場合、お父さんが祖父の代理行為をせざるを得ないです。祖父の意思表示をあなたのお父さんを始め祖父の相続人が了解していたら問題にはなりません。

早い回答ありがとうございます。
相続人はみんな了承しているのでトラブルになることはないと思います。
知識不足ですみません。
認知症祖父の口座を管理するにあたって、成年後見制度や代理人の届出などをしないと、なにか問題になるのでしょうか?

相続人がすべて了解していても、認知症の祖父のお金を自由に処分することは、法的に問題があります。
贈与以前の問題です。
弁護士や、裁判所にお尋ねください。