年末調整について

　　「絶対にお父様に分かることはない」とは言い切れませんが、お父様は年末調整で貴方を扶養から外すと思われます。
　　そのため、後日税務署からお父様に（会社を通じて）「扶養是正」（扶養にならない者を扶養にしていたので、是正・・訂正する）の連絡等はないと考えられますので、分かる可能性は少ないと思います。

　　しかし、なんらかの必要性でお父様が貴方の課税証明書などを入手したときに、150万円よりも多い収入であったことが分かる可能性は捨てきれません。

2月から新しい職場での勤務が決まったのですがそれまで扶養内に入れると言われてしまいました。
この場合は税務署から連絡来てしまいますよね

>2月から新しい職場での勤務が決まったのですがそれまで扶養内に入れると言われてしまいました。
⇒　この「扶養」は社会保険の扶養のことになります。
　　　税務上は「暦年」での扶養を判断しますので、税務署からの連絡はないと思います。

　　　150万円であっても、今後も同様な収入が続く見積もりの場合は、その時点で社会保険上の扶養からも外れるはずです。
　　　ただし、社会保険関係は社会保険労務士先生のお仕事の範疇であり、税理士は専門外となとります。「150万円」の前提で、お父様をつうじてお父様の会社が加入している社会保険事務所のご確認ください。