副業禁止の会社で副業をしてしまったことについて

アルバイト収入は勤務先からの給与と合算して確定申告を行う必要があります。
まだ、現段階であればアルバイト収入の額は多くないと思われますので、確定申告を行った結果、会社に通知される住民税の金額で副業（アルバイト）をしていることはおそらく分からないと思います。

今後アルバイトは直ちに辞めること、一方で確定申告は適正に行うこと、これらの事は大切だと考えます。

確定申告で、住民税について普通徴収を選択すれば、勤務先には知られないでしょう。

2か所以上から給与所得を受ける者は、所得税の確定申告書を提出する義務があります。

本業の会社で、普通に年末調整をしてもらって大丈夫です。
そして、確定申告書は、その源泉徴収票とアルバイトの源泉徴収票をもって税務署や税理士会などの申告相談会にいって指導をうけるか、国税庁のウェブサイトの確定申告コーナーからご自身で作成することができます。
その際に、忘れずに、地方税の納付方法を普通徴収にしてください。

また、4月末頃に、お住いの市町村に電話をして、普通徴収（給与天引きではなく、ご自身で納付する方法）による納付となっていることを確認してください。