学校共済の被扶養者の経費込みで雑所得４５万円未満の大学生です。

回答します。
あなたが45万円までに所得を抑えておけば、特に問題ないと考えます。
あなたのお父さんが共済組合なら問題ありません。国民健康保険の場合は、世帯全体の所得で算定され、世帯主に通知されますので影響はあります。
なお、所得税、住民税なども45万円までなら何ら問題ありません。

私の家の場合は母が公務員で父より給料が高いため扶養者は母親で、私の保険証の名称は公立学校共済組合の被扶養者になっています。
その場合も問題ありませんか？

公務員ならあなたの収入を正確にお母さんへ教えてください。もし後からあなたの収入が共済組合の保険基準130万円を超えていた場合、お母さんが何らかの処分を受ける可能性があります。

計算して年間130万円未満であれば問題ないということでよろしいでしょうか？
MAXでも年間30万になるので母が何か手続きなどする必要はないですよね？

お母さんが勤務先に届けます。そして、共済組合から何らかの指示があるはずです。それに従ってください。公務員なので対応を誤らないようにしてください。

わかりました。母に報告しようと思います。

質問なのですが、届出をする際に私はインターネットでバイトをしているので、振り込まれた通帳の明細しか出せません。(バイト先の人に書いてもらったり印をもらったりできません)
それでも大丈夫ですか？

それでも大丈夫です。まずは申告です。その後、不足するもの、提出すべきものがあれば共済組合から指示がありますので、それに従ってください。