家族間のカーリースのような状態は経費計上できますか？

別居の家族と生計が一かどうかで処理が違います。
生計が一とは、別居の場合は、別居の家族の生活費の大半を負担していれば一、していなければ、一ではないということです。

一でなければ、他人から借りたときと同じ処理です。
賃借料を支払えばそれが経費です。自動車税等、別途負担する経費があっても、全体として賃貸料として相当な金額ならば認められるでしょう。
なお、別居の家族がローンで購入するにせよ、ローンは賃借料ではありません。その家族と賃貸契約を結ぶべきです。

別居の家族が生計を一にしていると判断できる場合は、賃貸料の支払いは認められないものの、賃貸契約だった場合の必要経費に算入する金額は、個人の必要経費になります。
例えば、分割払手数料、減価償却費、自動車税等です。