個人事業から法人立ち上げをした際の税金処理

個人事業分の5月までの申告と法人の申告がどのタイミングで必要になるのでしょうか。

個人事業は翌年3月15日までに申告です。法人は決算月の翌々月末までに申告となります。

また今年度分は法人ではなく個人での申告ということはできないのでしょうか。法人立ち上げした時点は事業は完全に法人に移ってしまうのでしょうか。

法人を立ち上げただけでは事業は個人から法人には移りません。個人と法人とは人格が違うからです。今までの得意先は質問者様個人とご契約されているのであって、新しく設立した法人と契約している訳ではないので、法人に収益を移すのであれば、得意先に経緯を説明し、契約変更もしくは法人と新規契約の手続きをとる必要があります。仕入等の費用も同様です。
契約書作成等に時間がかかる等の理由であれば、翌年1月1日より法人と新規契約して頂けるよう手配し、今年は12月まで個人事業を行うことは可能かと存じます。