消費税負担？

診断料とは何の診断料でしょうか？
健康診断であれば課税取引となります。

教育費で処理をされているのは研修費用などでしょうか？
研修費用であれば、国等に対する検定料などであれば非課税となりますが、そうでない場合は課税となります。
教育費で消費税込みで支払う場合は、仮払消費税となりますので問題はありません。

国土交通の研修としての運転技能診断です。
全額非課税だったものが、消費税分は負担してくださいと通知がきました。

国税庁の照会に「道路交通法の規定に基づき都道府県公安委員会の指定を受けた法人等が認定を受けて行う運転免許証の更新時等の教育及び検査の手数料に係る消費税の取扱いについて（照会）」があります。
https://www.nta.go.jp/law/bunshokaito/shohi/220309/besshi.htm

非課税とされる要件として、
イ 講習又は検査を行う者が国等に該当するか
というものがあります。
その診断を行う団体が国等に該当すると認められていれば非課税となりますが、それに該当しなくなった場合は課税となります。

社団法人等が行う検定等についても非課税だったものが課税になるということがあります。

なぜ、課税分を負担ということになったのかその団体に確認されてはいかがでしょうか。

先にも記載しましたが、教育費で仮払消費税は発生しますので会計処理として科目はそのままで課税処理が正しい処理となります。