領収書の中にプライベートな物がある時

可能です。 事業と無関係の私物分（家事費）は経費・仕入に含めず、事業分のみを計上するのが一般的です。

ただし領収書の金額自体を書き換えるのは不可。原本（20,000円）をそのまま保存し、納品書・明細で「私物5,000円／事業15,000円」を明確化しておくのが無難です（消費税の仕入税額控除も事業分のみ）。

将来は購入時にレジ・請求書を分けてもらう（私物は個人決済）運用が最もトラブル回避になります。

ご参考までに。

領収書1枚にプライベート分が混ざっていても、金額が特定できれば「事業分のみ（今回なら15,000円）」を経費にしてOKです。
領収書の裏書きや納品書で内訳を明確にしておくことが重要です。
将来的には仕入とプライベートを別にして発行してもらう方が望ましいです。

①についてはご認識のとおり、事業に関係のある部分のみを仕入として計上し、私的利用分は除外すべきです。例えば20,000円の領収書にうち5,000円がプライベート用途であれば、納品書や明細等で内訳が明らかになっている限り、15,000円のみを仕入勘定とする処理は可能です。その際、領収書の裏面や別紙に「私的利用分5,000円を除外」等と明記しておくと、後日の説明責任が果たしやすくなります。②ただし、実務的には仕入先に依頼して事業用と私用を分けた領収書を発行してもらうのが最も望ましい対応です。税務署から見ても透明性が高く、余計な疑念を招きません。いずれにせよ、重要なのは「合理的に区分可能であること」と「証拠資料を整えておくこと」です。