保険証が2枚あります。親の方と自分のと二重で保険料を払っていることになるのでしょうか？

103万万円というのは所得税の扶養控除の要件、保険証2枚というのは社会保険の被扶養のことで、全くの別物です。

・年収が103万を超えた時点で、扶養を外す手続きをしなければいけなかったのでしょうか？

→親御様が昨年の年末調整で扶養控除の対象者から貴方を外しているかどうか、親御様に聞いてください。

・親の方と自分のと二重で保険料を払っていることになるのでしょうか？

→所得税の扶養控除の話ではありませんが、親御様が会社員であって加入しているのが社会保険であれば、社会保険料は被扶養者の人数に関係なく保険料率が設定されるのが一般的なので、親御様が貴方の分を余計に支払っていたことはないでしょう。
但し、貴方が個人で社会保険に加入したのであれば親御様の社会保険の資格喪失手続きを、親御様が勤務する会社に対して行う必要があります。
社会保険は税理士の専門外ですので、社会保険の被扶養資格喪失手続きについては親御様にお話しください。

・また親に源泉徴収が必要だと言われましたが、扶養から抜けるのに私の源泉徴収が必要なのでしょうか？

→一番最初の所得税の扶養控除の対象者になるかどうかを判定するために必要と言われたのでしょう。

後々の追徴課税か何か請求が一気に来たりしないか心配になっています。

→親御様が昨年の年末調整で貴方を扶養控除の対象にしていた場合、親御様が自ら確定申告をして訂正しないまま放置すると、親御様の会社に扶養控除の非適用と親御様から不足分の税額について徴収するように税務署から連絡があります。

今、何かしておいた方がいいことはありますか？

→少なくとも2番目の社会保険の被扶養の資格喪失手続きを親御様を通して親御様の会社に届け出る必要があります。