学生アルバイトで103万超えた場合

まず、相談者様のバイトの収入（年収）が103万円を超えますと、親御さんの扶養控除が適用できなくなります。親御さんは年金収入とのことですが、現在の年金収入で所得税・住民税がかかっていらっしゃる場合には、扶養控除が適用できなくなることで親御さんの所得税・住民税が増加しますのでご留意ください。

相談者様ご自身の問題としては、「勤労学生（注）」に該当する前提で考えますと、年収130万円を超えますと所得税・住民税がかかる可能性が生じてきます。
また、年収130万円が継続する場合には、親御さんの健康保険の被扶養者から外れ、ご自身で国民健康保険に加入することが必要になりますので、その点もご留意ください。

（注）勤労学生につきましては下記サイトをご参照ください。
https://www.nta.go.jp/taxes/shiraberu/taxanswer/shotoku/1175.htm

大学生の場合、年間所得額38万円以下なら特定扶養控除が受けられます。
所得税　630,000円
住民税　450,000円

親が、課税所得がある場合、この控除が受けられないと、
所得税　630,000円×5%=31,500円
住民税　450,000円×10%=45,000円
の税負担が増えます。

年金生活者は、他に所得がなければ、世帯単位で国民健康保険の対象です。
良く、130万円の壁と言いますが、それは社会保険の問題です。
あなたは、国民健康保険の扶養だと思います。
勤め先で、社会保険の加入要件を満たせば、社会保険に加入する事になると考えます。