会社員の確定申告遅れによる特別徴収通知書の扱いについて

回答します。
申告して非課税世帯になれば、住民税の通知書は会社に届きます。課税無しとなりますので、副業をしていることがわかります。心配なのはその点だけです。
社会保険は会社からの4月から6月までの給与で標準報酬額が決まりますので、社会保険料が減ったり外れたりすることはありません。
給与の減額は会社の判断なので会社に確認してください。

確定申告を行い、住民税非課税世帯の水準になった場合、既に支払っている住民税の還付等を受けることになると思うのですが、会社側はいつ私が住民税非課税世帯になっていることに気づくでしょうか？

再度特別徴収通知書が送付されるのでしょうか？
→特別徴収税額変更通知書が0円で会社に行くと思いますので、気付くでしょう。

会社員が住民税非課税世帯になってしまうことによるデメリットはありますか？

→特にないと思いますが、特別徴収税額0円はおかしいので、副業禁止の会社であれば就業規則違反などの社内処分があるかもしれません。
会社が判断することですが。

会社の保険証が使えない？など

→社会保険は関係ないと思います。

給与が下がるなど

→勤務先の会社が判断することです。

住民税以前の問題として、期限後申告は所得税の還付申告になる筈です。
通常、本業が給与所得の人が、給与所得を減らすために事業所得を赤字にして申告すると否認される可能性が高く、特に確定申告期間でない時期にそのような申告書を提出すれば目立つでしょうから、お尋ねがくる可能性はより高くなると考えられます。