姉からのお礼金は課税対象か？

遺産分割の中で整理されるなら税金はかかりません。
また、この場合ご質問者が資産を多くもらう事になるので今回の相続税の負担が多くなります。
今回の申告で相続税を支払わないのでしたら問題ありませんが。

遺産分割では無い整理ですと、お姉様からのもらう金額が110万円を越すならば贈与税の申告が必要と考えます。

（1）この場合、私は税金を納める必要はありますか？

もらい方によって変わってきます。
実費部分はお二人で負担すべきものですから、相続する財産に応じて負担していれば所得や贈与になる可能性はありません。
問題は相続手続きの対価部分です。この部分を相続財産に上乗せしないで別途やり取りをすると所得となり、相続税とは別に所得税が発生する可能性があります。実際の納税が必要になるかどうかはご質問者の所得の状況によります。ほかに所得がないのであれば、対価部分の受取金額が基礎控除38万円より小さければ納税は不要です。

（2）納めるとしたら何税ですか？
（所得税？贈与税？遺産に上乗せなら相続税になってしまう？）

相続財産に上乗せすると、お二方の相続税の総額は変わりませんがご質問者の相続税の負担額が増えることになります。別途やり取りする場合には所得の区分は雑所得が順当なところでしょう。

（3）上記の姉とのやり取りは契約書は必要ですか？
例えばラインやメールのやり取りでは無効でしょうか？
（私からの請求額を見て払いたくないと言い出したら困るので）

ラインやメールのやり取りでも契約は成立していますが、言葉が足らず誤解が起こる可能性も出てきます。ご心配であれば、双方の誤解が起こらないように一筆書いてもらっておいた方がいいと思います。また、対価部分の金額は事前に決めておくことをおすすめします。トラブルになりにくいですから。

贈与税の扱いとはならない、
ということでしょうか？

贈与というのは無償ですから。
作業の対価だと贈与ではないですね。