住宅取得等資金の贈与を受けた場合の非課税について

土地と建物契約は年内に締結します。
この場合の非課税の限度額は、今年度の限度額にあてはまるのでしょうか？

「受贈者が最初に非課税の特例の適用を受けようとする住宅用の家屋の新築等に係る契約の締結日に応じた金額となります。」とされていますので、令和2年4月1日から令和3年3月31日の間にされる契約締結日に応じた限度額になります。

また、贈与をしてもらうタイミングとしては、来年の1月1日以降ならいつでも良いのでしょうか？
手付金400万円ほど年内に支払う必要があり、その分は自己資金で賄おうと思っています。それについては、来年受け取る贈与金にて充当することができるのでしょうか？

受贈した金銭等を住宅の取得等の対価に直接充当することが要件ですので、ご自身が先に払った手付金については特例の対象とはなりません。
タイミングは、上記の通り住宅の取得等に直接充当する必要がありますので、支払いより前とする必要があります。
贈与日と支払日の順番が大切ということです。

最後になりますが、親からもらう贈与金というのは、例えば1500万が上限とした場合、父1000 万、母500万という分配方法でもよいのでしょうか？

構いません。

以下の国税庁タックスアンサーをご参照ください。
https://www.nta.go.jp/taxes/shiraberu/taxanswer/sozoku/4508.htm