毎月の送金

贈与税が課税される定期贈与とは、はじめにいくらを贈与するのかを決めており、それを定期的に分割して贈与するものです。
ご相談者様の場合、毎月お祖母様から贈与を受けているということですが、いくらを何回に分けて贈与すると決めているものではないということですから、年間60万円で贈与税の基礎控除110万円以下となり、他に贈与を受けていないなら、贈与税の申告は必要ありません。
なお、その毎月贈与されている5万円が生活費として贈与されているものでしたら、贈与税は非課税です。

国税庁HP: 贈与税がかからない場合
https://www.nta.go.jp/taxes/shiraberu/taxanswer/zoyo/4405.htm

ありがとうございます。
では、これが2年、3年と続いても贈与税の申告はいらないということでよいでしょうか?

何年続いたらというのは関係ありません。
定期贈与となるのは、いくらを贈与をするのか先に決まっていて、それを複数回に分けて贈与されるものです。