過去の送金に関して、"贈与"ではなく"預かり金"である事の証明と申告

覚書は停止条件付贈与契約を定めた立派な契約書です。
停止条件付贈与契約の場合には、条件成立の時において贈与がなされたことになります。
よって、条件が成立しなかったわけですから、贈与はなかったことになりますのでご安心ください。

母に一千万を送金し終われば、税務署などに申告する必要はないでしょうか？
返金した際にも、何か書類を作成した方が良いでしょうか？

贈与はなかったわけですから贈与税申告などは不要です。
また、覚書に返金の旨が記載されていますので新たに書類を作成する必要はありません。

ただし、これらのお金の流れを税務署が把握した場合は、贈与を疑われる可能性はあります。
万が一の税務調査のために、覚書を保管し、お金の流れの事情が説明できるように準備しておくことをおすすめします。

なお、
・住宅購入の契約が成立した場合には一千万円に相当する所有権は甲名義とする。

の甲名義とはどういう意味でしょうか。

迅速な返答、どうもありがとうございます。

質問されている一文に関してですが、
預り証を作成する際、web上で類似のケースがあった為、
そのまま参考にさせていただいた次第です。
結果として契約は不成立になった訳ですが、何か不都合があるのでしょうか？


また、
「万が一の税務調査に備えて」ということですが、その点に関し続けて質問させて下さい。

この度、他府県に転居する事になりました。
税務署は都道府県をまたいで税務調査やお金の流れの把握はされるものなのでしょうか？
また、預り証はいつまで保管すればいいのでしょう？
贈与税に関する時効？を目安にすれば良いものでしょうか。
幸い母はまだ健在ですが、
贈与税から相続税としての調査に対象が変わった場合
遡っての調査や、その内容も変わる様な気がします。

続けざまの質問で恐縮ですが、
どうぞよろしくお願いいたします。

甲とはお母様のことですね。
贈与があれば、乙であるご質問者様に所有権がうつるのではないですか。

もちろん、転居しても税務調査はありえます。
おっしゃるとおり贈与税の時効を考えれば、預かり証の保管は7年間が目安です。
まさに、税務署がお母様の口座を確認するとすれば、お母様の万が一の相続開始がきっかけとなります。
なお、相続税の調査においては贈与税についても調査されます。
ただし、贈与は成立していないわけですから、あまりご心配なさらなくていいでしょう。