消費税率

どちらから言われたのでしょうか？
実際には契約内容や報告書を見て判断する必要がありますが、例えば9月25日修理完了分〇〇円、10月2日修理完了分〇〇円というように、役務提供の個別明細が10月20日締めの請求書に明記されている、又は、請求書に添付されている等であれば、ご質問者様が記載されているように9月末日分までは8％、10月1日以降分は10％になるものと思います。
上記のように明細がなく、単に9月21日～10月20日分のような記載であれば、期間中の役務提供の全部の完了日が10月1日以降になると解せられます。

取引先から言われました。
請求書には10月分とだけ記載し、その内訳として別途作業明細があります。
その作業明細は、作業内容、作業完了日、件数を記載して、その合計件数に係る1ヶ月分の合計額を記載してます。

会社の経理では、役務提供完了日で収益に上げていますので、決算では21日から末日までを計上してます。

消費税では、考え方が違うのでしょうか？

取引先は契約内容で期間中の役務提供完了日が締め日と判断しているのではないかと思います。

基本的には消費税も法人税の収益（益金）計上日に合わせますが、売主が出荷基準で買主が検収基準を採用し10月1日を跨ぐ取引の場合などが売主の出荷基準で買主の仕入税額控除も合わせる、など一部取引において税率改定に伴う計上の仕方が異なる場合があります。

税務署に照会しても、ご質問のようなケースは最終的に契約内容により個別判断をする、という回答が多いので、期間中の役務提供毎に完了するものなのか、期間の最終日に役務提供が完了するものなのか、今一度契約内容をご確認いただいた方がよろしいかと思います。