消費税：外国にいるデザイナーに、日本で使うロゴを作ってもらう場合

国内における資産の譲渡等に該当しないと思いますので、消費税は不課税になると考えます。
問題は、その支払いが著作権の使用料に該当するのではないかという点です。ロゴを日本で使用されるとのことですので、国内源泉所得に該当し、著作権の使用料を非居住者に支払う場合、20.42%の源泉税を徴収する必要があるのではないかと思います。但し、租税条約の適用により、源泉徴収は不要となるケースもあり、相手方が米国居住者であれば、日米租税条約の適用により、源泉税免除となりますが、支払い前に、租税条約の届出書等を税務署に提出する必要があります。

租税条約の届出書等は次の国税庁サイトをご覧ください。
https://www.nta.go.jp/taxes/tetsuzuki/shinsei/annai/joyaku/annai/1648_41.htm
租税条約の届出書等には、相手側の居住者証明書（米国歳入庁（ＩＲＳ）が発行したもの）を添付（又は提示）する必要があり、居住者証明書を相手方に入手してもらうのに結構時間がかかるのではないかと思います。
もし相談者様の会社の方で源泉税を負担するということであれば、グロスアップして支払うということも考えられます。

このサイトで詳細を説明するのも結構難しいところですので、相談者様の会社に顧問税理士の方がいれば、支払い前にその方と相談することをお勧めします。