会社設立後、青色申告承認申請書提出し忘れのまま第二期に入ってしまいました。

第1期の末日までに提出していなければ第2期は白白です。

そして第二期も白色のまま一年過ごすべきか、また決算期を変更して第三期を早めて青色にすべきか悩んでおります。

→青色欠損金や30万円未満の減価償却資産の損金算入を受けたいと思うのであれば決算期変更をしても良いですし、短期間のうちに何度も決算と申告をすることを煩わしいと思うのであれば決算期を変更しないということもありますので、一概に言えません。
ご自身でご判断ください。

早々にご回答いただきありがとうございます。

最初に書き忘れましたが合同会社で夫婦2人のみです。
まだ大した動きもないため会計ソフトを使い自分で確定申告をする予定です。
9月〜第二期が始まったばかりで、たった2ヶ月でまた決算期を変えることに、手間がかかる以外のデメリットはありますでしょうか。(会社設立後6ヶ月の間で、2回も変更することになります)

ちなみに資本金も100万のみで、第一期〜第二期の現在まで赤字、売上金もほぼ無いため、消費税の納税義務免除等も特に影響はありません。

手間が掛かる以外のデメリットはないと思います。
後は、ご自身でご判断下さい。

ありがとうございます。
勉強になりました。