課税対象か

育休手当は、非課税で課税の対象外になります。副業分の所得が48万円を超えれば、確定申告が必要になります。

組合員の嫁なので課税なしの解釈で大丈夫でしょうか？
ネット検索した所組合員は課税対象となっていましたが。

月額限度108333円は気にしなくても大丈夫なのでしょうか

国家公務員共済法(すべての省庁を含む)49条には、育児休業手当は非課税と規定されているようです。なお、社会保険の扶養については、育休手当は判定の収入に含まれる可能性があると思います。詳細は共済組合の方に確認をされた方が良いと思います。