扶養に入りたいと考えています

一般的には、そこまでの確認はされないと思いますが、ご主人様の会社が必要があると判断した場合には、そのようなこともあるかもしれません。
どちらにしても、ご主人様の勤務先に具体的な必要資料を事前に確認されては如何ですか。

一般的には、源泉徴収票、確定申告書の控えや非課税証明書等の提出が求められます。
最終的にはご主人の勤務先から提示される必要書類に従うことになりますが、通帳コピーは考えにくいです。

被扶養者認定の際に収入証明として確定申告書控えや源泉徴収票の提出が一般的ですが、まれに収入状況の裏付けとして通帳の写しを求められる場合もございます。ただし、必ずしも全ての健保組合で通帳コピーを求めるわけではありません。ご心配であれば、あらかじめ管轄の健康保険組合へ「申告書控えで足りるか」を確認されると良いでしょう。プライバシー保護の観点からも慎重に進めることをおすすめいたします。

去年130万円超えてしまっているので、（今年は超えないです）去年の申告書控えではあんまり証明にはならないですよね？
ということは直近の収入の証明するために通帳のコピーとか、経費の内容の提出とか求められて全部バレてしまいそうで怖いです（ ; ; ）
最悪そうなってしまったとしてもチャットレディとまでは言わなくてもいいでしょうか？インターネットサービス業とかでごまかしたいです…

それって保険組合？の方だけではなく、旦那の会社の人に見られてしまうんですよね？

社会保険の扶養は今後１年の収入見込みで判定しますが、
あくまで参考資料として前年の確定申告書控えの提出が求められます。
そのうえで、130万円を超えている場合に追加で求められる資料は保険組合によりまちまちかと存じます。
直近の通帳コピーでそれを証明できるかと言われると証明できないように思いますが、提出を求めるかは保険組合次第です。
また、基本的には具体的な仕事内容までは求められないように思います。
提出書類は会社の人事担当者には見られると思います。

社会保険の扶養の申請は、ご主人様が、自分の勤務先に行うものであり、あなた様が申請するものではありません。したがって、会社が問い合わせを行うにしてもあなた様ではなく、ご主人様に対して行うものであることにご留意ください。