源泉徴収を行う先の税務署と違う税務署でふるさと納税の確定申告をした場合について

源泉徴収は、その給与や報酬等の支払者の納税地の税務署で行われます。支払を受ける者の税務署ではありません。

確定申告は、支払を受ける者の住所地の税務署で行います。

当然、異なることは普通にあります。
住所の解釈は生活の本拠地なので、実際に住んでいる所を管轄する税務署に申告することは合っているのですが、住民票がそこにないとトラブルの元です。住民票を実際に住んでいる所に異動すべきです。

住民票を移してない状態であってもふるさと納税による減税は問題なく機能するんでしょうか。

大前提の住民税の納税先が問題です。

住民税は住所地（生活の本拠地）の市町村に納税すべきですが、そこに住民票がないことはトラブルの元です。
納税先が違うのに問題がないとは、いえません。