相続したお金で保険加入した場合

保険契約者が私だと、息子から私への贈与になってしまいますか？

そうなります。
契約者が息子さんだと駄目なのですか？

補足します。
保険の課税関係では、契約者ではなくて保険料の負担者で判断します。
負担者と受取人が同じかどうかです。

竹中先生、鎌田先生、ありがとうございます。
鎌田先生の回答に対して質問します。
負担者と受取人が同じかどうか

同じであれば、つまり息子の相続した預貯金で息子が受取人の保険に入る場合は贈与にならないということでしょうか？
是非回答を頂きたいと思います。

例えば、満期保険金の受取が息子さんであれば、一時所得になります。
多くの場合、契約者が保険料を払います。
このため、契約者を息子さんにすることが望ましいといえます。

ありがとうございます。
息子が若年であること、保険に運用要素があり状況に応じた判断が要ることなどから、契約者は私にしておいた方が良いのかとも考えましたが、息子が契約者になった方が良いということですね。