成人した病気を抱えた子を扶養にする場合

子供さんのアルバイト収入が100万円以下であれば、そのまま扶養控除を続けることは可能です。
年末調整の用紙には扶養親族の欄に子供さんのお名前と生年月日、所得金額の見積額は35万円以下と記入して提出して頂ければ宜しいと考えます。
(アルバイト収入100万円-給与所得控除65万円=35万円)

お子さんの給与収入が103万円以下であれば、あなたの控除対象扶養親族に該当します。
年末調整書類で注意していただく点は、扶養控除等申告書に①寡婦控除欄をチェック、②控除対象扶養親族にお子さんの氏名等を記載、③障害者控除欄をチェックすることのほか、保険料控除申告書で支払った生命保険や医療保険等を記載してもらうことをお忘れなく。

服部先生、中西先生、早速のご回答、アドバイスをありがとうございます。中西先生に質問ですが、癌、糖尿病等は障害者として認めて頂けるのでしょうか？見た目は健常者と大差なく見え、アルバイトもできてはおりますが、、。

障害者(手帳)の認定は受けておられませんか。
受けておられる前提で回答してしまいました。

障害者とは、身体障害・知的障害・精神障害（発達障害を含む）その他の心身の機能の障害があり、障害および社会的障壁によって継続的に日常生活や社会生活に相当な制限を受ける状態にある人。

一度、市役所等の窓口で相談されてはいかがですか。